La date de Pâques

Cycle solaire et cycle lunaire

Les mathématiques du calendrier sont complexes, puisque même le célèbre astronome et mathématicien Gauss (1777-1855) ne réussit pas à trouver un algorithme complet permettant de calculer exactement la date de Pâques. Pourquoi ? Parce qu’il faut faire correspondre un cycle solaire avec un cycle lunaire. Le soleil n’a pas rendez-vous avec la lune !

Le soleil marque les saisons, les jours et les années. La lune est un repère plus pratique pour diviser le temps, inscrit dans le ciel, qui change de jour en jour, avec un cycle d’environ un mois, que l’on peut diviser en 4 avec un premier quartier, la pleine lune, un dernier quartier et la nouvelle lune. Cette division en 4 est pratique car elle correspond à peu près à une semaine ; on peut même sous-diviser ces périodes (croissant, premier quartier, lune gibbeuse, pleine lune gibbeuse, dernier quartier, lune cendrée et nouvelle lune).

Hélas, rien n’est stable, rien n’est fixe, rien n’est juste dans le temps ! Les lunaisons varient de 29 jours et 6 heures à 29 jours et 20 heures ! Quant au soleil, une année ne fait pas un nombre entier de jours. Et puis les saisons ne sont bien marquées qu’au-delà des tropiques.

La terre est animée de cinq mouvements différents qui de plus ne sont pas réguliers ! Elle tourne sur elle-même (jour, nuit) en 23 h 56mn 4s mais la durée du jour n’est pas constante (l’heure officielle n’est pas l’heure réelle). Elle tourne autour du soleil en un peu plus de 365 jours ; c’est ce que nous appelons une “année“. Mais selon qu’on tient compte des différents mouvements les durées ne seront pas les mêmes :

Il y a l’année tropique [intervalle moyen de deux retours consécutifs du soleil à l’équinoxe de printemps] qui dure 365j 5h 48mn 46s ;

L’année sidérale qui dure 365j 6h 9mn 10s ; elle commence quand le soleil paraît être au point équinoxial du printemps, et se termine au retour apparent de l’astre au même point. L’année sidérale étant l’année tropique augmentée du temps nécessaire au soleil pour décrire un arc égal au mouvement des équinoxes.

L’année anomalistique qui dure 365j 6h 13mn 53s, temps que met la terre à revenir au même point de son orbite.

Son axe est incliné (saisons) ; cet axe est conique avec une périodicité de 25 770 ans (précession des équinoxes) ; actuellement c’est l’étoile Polaire qui est dans le prolongement de l’axe de la terre ; ce n’était pas le cas il y a 2 000 ans ; il y a 5 000 ans l’axe pointait vers l’étoile Tuban.

L’orbite elliptique tourne en 20 000 ans (variations du périhélie) ; actuellement c’est le 2 janvier que le soleil et la terre sont au plus près. Ce n’était pas le cas il y a 2 000 ans.

Enfin la terre ne revient pas à son point de départ au bout d’un an (mouvement spiroïde - qui est contourné en hélice - avec le soleil).

Il est commode de prendre comme point de repère l’équinoxe de printemps ; la position de la terre à ce moment est appelée point vernal et l’intervalle entre 2 équinoxes de printemps est l’année tropique. Mais ce n’est pas juste en raison des autres mouvements de la terre.

Les mouvements de la lune sont encore plus complexes. Traditionnellement on compte les lunaisons entre deux nouvelles lunes.

Les calendriers solaires et les calendriers lunaires

Pour mesurer le temps il est naturel que les peuples aient fait des calendriers soit solaires, c’est le calendrier romain, c’est aussi le nôtre ; soit lunaires (or la lune n’est pas fiable car il faut que le ciel soit clair), c’est le calendrier romain primitif, c’est le calendrier musulman ; soit luni-solaires, ce sont les calendriers juif et chinois. Il y a aussi des calendriers bizarres mais ils sont toujours liés à la religion.

Une remarque s’impose : devant de telles complexités, il est extrêmement difficile de faire correspondre des dates historiques pour des événements dont les civilisations utilisaient des origines et des unités de temps très différentes. Chaque peuple, chaque région avait sa façon de compter le temps et cette façon a varié selon les époques !

A l’échelle humaine, nous avons l’impression de régularité, de constance des phénomènes astronomiques ; ce n’est que de génération en génération que l’on s’aperçoit des décalages et des erreurs de dates. C’est toute l’histoire des calendriers. Ainsi la différence entre l’année tropique et l’année sidérale est de 20mn. Est-ce beaucoup ? Qu’une année dure 20mn de plus ou de moins nous ne nous en apercevons pas dans la vie courante. Mais au bout de 100 ans, de 1000 ans ? Nous voyons bien maintenant le décalage entre les mêmes fêtes latines et orthodoxes.

Comme tout serait simple si l’année faisait 360 jours et un mois lunaire 30 jours !

Le calendrier est peu cité dans la Bible. Après la captivité de Babylone, les Israélites adoptèrent le calendrier babylonien qui est luni-solaire. L’année religieuse débute aux environs de l’équinoxe de printemps avec le mois de nisan. La pâque juive Pessah (passage de l’ange exterminateur épargnant les maisons marquées du sang de l’agneau et délivrance par le passage de la Mer Rouge) est fêtée à partir du 15 nisan, l’agneau pascal étant immolé le 14. On est alors au milieu du mois lunaire au moment de la pleine lune. On a déjà là deux éléments importants pour la date de Pâques : l’équinoxe de printemps et la pleine lune.

Notre Seigneur a fait la Pâque le jeudi, 14e jour de nisan, il a été crucifié le vendredi 15 et il est ressuscité le dimanche 17. Le Christ est bien ressuscité le 3e jour car dans le calendrier juif, le jour commence au coucher du soleil, le nom des jours est donc décalé par rapport à notre usage où le jour suivant commence à minuit.

Le problème est que l’on ignore à quel jour cela correspondait dans le calendrier romain. Dans une année de 12 mois lunaires, on accumule un retard par rapport à l’année solaire et périodiquement, dans un calendrier luni-solaire, il faut ajouter un 13e mois pour combler ce retard ; cette année plus longue est appelée embolismique. (Dans notre calendrier, on voit que certaines années ont 13 pleines ou nouvelles lunes). Ce mois supplémentaire était placé avant nisan ; le dernier mois de l’année religieuse, adar, était alors redoublé : on l’appelait we-adar. Comment savoir s’il fallait ajouter ce mois ? C’était une décision du Sanhédrin. Il fallait donner rendez-vous au soleil avec la lune pour recaler ce calendrier luni-solaire. Comme Pessah était liée aussi  à la moisson (le 2e jour de Pessah il fallait offrir une gerbe d’épis d’orge mûrs), quand on constatait que les épis n’étaient pas encore mûrs, cela signifiait que l’on était en avance sur la saison (correspondant évidemment avec le soleil) et qu’il fallait ajouter un mois. C’est comme si nous avions des mois de 29 jours, et arrivés au mois septembre nous nous  apercevions  que les raisins ne sont pas mûrs ; on redoublerait alors le mois d’août pour se recaler sur la saison. Tout cela était empirique, il n’y avait pas de règle chiffrée pour ajouter ce mois. Cela ajoute à la confusion.

En résumé : Pâques est une date semi-lunaire qu’il faut faire correspondre à un calendrier solaire. Comme repère, nous avons l’équinoxe, la pleine lune et le jour de la semaine, le dimanche.

Le concile de Nicée fixe la date de Pâques

Si l’on fête Pâques comme les juifs, le 14e jour de la lune de l’équinoxe, c’est la Cène que l’on commémore ; de plus cela peut être n’importe quel jour de la semaine. C’est ce que faisaient certains chrétiens d’Orients appelés quartodécimans. Le pape Victor Ier imposa de célébrer, non la Cène, mais la résurrection, le 17 nisan ; mais dans ce cas le 17 nisan n’est pas un dimanche chaque année. Des différences persistaient ici et là.

Etant donné l’importance de Pâques (« Si le Christ n’est pas ressuscité, vaine est notre foi »), les choses vont être fixées par le célèbre concile de Nicée bien que depuis l’origine les Latins célébrassent Pâques comme aujourd’hui.

Nous sommes en 325. L’empereur Constantin a reconstitué l’unité de l’Empire romain. En 313 par l’Edit de Milan il a instauré la liberté de toutes les religions. Depuis son origine l’Eglise avait subi dix persécutions dont la dernière en 303 sous Dioclétien fut particulièrement cruelle. Constantin fait bâtir une ville nouvelle : Constantinople. Dans les environs, à Nicée, il fait réunir le premier concile œcuménique. Tout cet Orient est chrétien, de même que l’Afrique du nord. Nous sommes plusieurs siècles avant l’arrivée de l’islam et Constantinople ne tombera qu’en 1453. Actuellement Nicée est en Turquie et il n’y a plus de chrétiens.

A ce concile de Nicée les 318 pères de l’Eglise, rescapés des terribles persécutions, définiront le credo et la date de Pâques.

La date de Pâques fut fixée ainsi : « Pâques est le premier dimanche qui suit le quatorzième jour de la lune (i.e. la pleine lune, dite la lune pascale) qui atteint cet âge au 21 mars ou immédiatement après. »

On va voir qu’à cette époque l’Eglise avait porté très haut les connaissances en mathématiques (d’ailleurs, au Moyen Age, les mathématiques faisaient partie du quadrivium, cursus universitaire). Nous avons donc les 3 éléments suivants:  d’abord l’équinoxe ; le mois de nisan commence au plus tôt le 8 mars ; au lieu d’avoir une date lunaire variable, le choix solaire de l’équinoxe (de printemps)  est un bon choix puisque c’est un repère plus commode, plus fixe. Ensuite la pleine lune (calcul plus difficile), enfin le dimanche.

Pourquoi l’équinoxe de printemps au 21 mars alors que l’équinoxe d’automne est vers le 23 septembre ? Parce que la terre va plus vite en hiver (de notre hémisphère). Il y a 181 jours du 1er janvier au 30 juin et 184 jours du 1er juillet au 31 décembre. Si la vitesse de la terre était régulière, l’équinoxe d’automne devrait être le 20 septembre. Comme elle se ralentit pendant le second semestre, nous perdons 6 jours. Le second semestre ayant 3 jours de plus, il ne reste qu’à ajouter 3 jours au 20 septembre pour rétablir la symétrie.

Prenons un vrai calendrier, par exemple celui de la Poste où sont notés les événements astronomiques. Au bas du mois de février on y voit certaines indications :

Epacte 0 / Lettre dominicale A / Cycle solaire 27 / Nombre d’or 12 / Indiction romaine 14.

C’est le COMPUT ecclésiastique (du latin computus que les anglais ont repris pour former un mot très moderne, computer !) qui sert à établir la date de Pâques.

Le nombre d’or est le rang d’une année dans le cycle de Méton. Méton, astronome grec du Ve siècle av. J.-C., découvrit que la nouvelle lune revenait à la même date tous les 19 ans ; cela fait 235 lunaisons. On dit que cette découverte fut gravée en lettres d’or sur les colonnes du temple de Minerve. Il varie donc d’1 à 19. A partir de ce cycle l’Eglise a établi un calendrier lunaire perpétuel, dans le calendrier solaire julien avec les années bissextiles. On a ainsi les dates des pleines lunes pour calculer la date de Pâques pour toutes les années à venir.

La lettre dominicale sert à trouver la date du dimanche. Elle établit la concordance entre la date et le jour de la semaine : on attribue aux jours de la semaine les 7 premières lettres de l’alphabet A B C D E F G. Au 1er janvier correspond A, au 2 janvier B etc… Si le 1er janvier est un jeudi (A) le dimanche, aura pour lettre D. Une année bissextile a deux lettres dominicales ; c’était le cas de l’an 2000, le 1er janvier était un samedi (A), donc le dimanche était B mais en raison d’un jour supplémentaire en février il faut une lettre dominicale de plus à partir de mars. En 2000 nous avions donc : BA. En mettant en ordonnées le nombre d’or et en abscisses la lettre dominicale on fait un tableau qui donne à l’avance la date de Pâques.

L’épacte. La nouvelle lune revient à la même date tous les 19 ans ; très bien ; mais hélas, pas à la même heure ! Elle a 1h29mn d’avance. Ce qui est important car si la lune pascale vient au moment de l’équinoxe, cela peut entraîner une erreur de 29 jours dans la date de Pâques ! Il faut donc connaître l’état de la lune au 1er janvier. Il y a des différences entre l’épacte du calendrier julien et du calendrier grégorien. Dans le calendrier grégorien l’épacte est un nombre compris entre 0 et 29.

Le cycle solaire détermine les lettres dominicales qui se succèdent suivant un cycle de 28 ans (4 X 7). C’est le rang de l’année dans le cycle ; il varie de 1 à 28.

L’indiction romaine est un cycle de 15 ans établi par l’empereur Constantin pour remplacer les anciennes périodes de 4 ans appelées olympiades.

La date de Pâques était donc fixée ; mais en 325 on en restait au calendrier julien, on comptait les ans à partir de la fondation de Rome (ab Urbe condita) en 753 av. J.-C., et l’on comptait les jours en remontant (calendes, nones et ides). Cet usage se fit jusqu’au XVIe siècle.

Ce calendrier est appelé julien car c’est Jules César qui l’établit en 46 av. J.-C. pour mettre fin à l’anarchie qui régnait alors dans le calendrier ; il a une année de 365 jours et un jour supplémentaire tous les 4 ans (intercalé entre le 24 et le 25 février c’est à dire le sixièmes jour avant les calendes – ante diem sextum Kalendas Martiis). Ce jour supplémentaire fut appelé bis sexto d’où l’adjectif bissextile. Saint Mathias se fête le 24 février et le 24bis (25) les années bissextiles d’après le calendrier julien.

L’année julienne avait donc 365,25 jours ce qui était simple et précis ; mais l’année tropique (elle-même variable dans le temps, elle se raccourcit) était en 46 av. J.C. de 365,2432 jours ; donc l’année julienne était trop longue, trop lente d’environ 11mn 4s, ce qui faisait un retard d’1 jour en 130 ans, en réalité tous les 128 ans en raison du ralentissement de l’année tropique.

Au cours des siècles on avait bien noté l’écart croissant entre le calendrier et l’équinoxe mais rien n’avait été fait ; d’ailleurs actuellement encore on ne serait pas gêné dans la vie courante, remarquons-nous une différence entre le 11 et le 21 mars ?

La réforme grégorienne

C’est surtout pour garder Pâques en rapport avec l’équinoxe de printemps, pour éviter la dérive du calendrier julien par rapport au soleil que le pape Grégoire XIII le 24 février 1582 dans sa bulle Inter gravissimas instaura le calendrier qui porte son nom et qui est le nôtre actuellement. Grégoire XIII, féru d’astronomie, réunit une commission de savants, dont le jésuite Clavius. Ils avaient constaté l’imperfection du cycle de Méton et du calendrier lunaire perpétuel julien (la lune avance d’un jour en 3 siècles par rapport à ce calendrier). C’est pour cela que les épactes juliennes et grégoriennes sont différentes. L’épacte grégorienne n’est plus liée au nombre d’or. Comme le mouvement de la lune est indépendant de celui du soleil, tout retrait d’un jour doit être rattrapé par un saut d’épacte pour suivre la lune. Ainsi l’épacte de 1582, année de la réforme, qui valait 3 dans le calendrier julien, passa à 26 ; ce saut d’épacte était dû à la suppression de 10 jours du 4 au 15 octobre pour ramener l’équinoxe au 21 mars, corriger la dérive du cycle de Méton et rattraper la lune réelle. On refit un calendrier lunaire perpétuel et un nouveau tableau de la date de Pâques avec en ordonnées non plus le nombre d’or mais les épactes et en abscisses toujours la lettre dominicale.

Comme on supprime des années, il faut des règles pour corriger les épactes. Il faut aussi corriger l’erreur du cycle de Méton. Le pape décida donc :

- qu’à chaque année séculaire non bissextile, on retranche 1 jour à l’épacte : c’est la métemptose ;

- que tous les 300 ans on ajoute 1 jour à l’épacte de l’année séculaire : c’est la proemptose ;

- qu’on ajoute 8 jours à la lune du comput en 25 siècles.

Finalement le calendrier grégorien apporte plus de précision au calendrier julien : les années de fin de siècle qui étaient bissextiles ne le sont plus (1700, 1800, 1900) sauf celles qui sont divisible par 400 (1600 et 2000 sont bissextiles). On supprime 3 années bissextiles séculaires sur 4. La durée d’une année est ainsi ramenée à 365,2425 au lieu de 365,24222 en 1582 et 365,242198 en 1900. (La journée s’allonge d’environ 2 secondes tous les 100 000 ans). Cette précision remarquable fait qu’il n’y aura qu’un jour de décalage en l’an 4317.

Ainsi l’année grégorienne arrive à maintenir l’équinoxe vers le 21 mars (le 20 le plus souvent et rarement le 19). En outre il y a un cycle de 400 ans où les dates se répètent : l’an 2000 est superposable à l’an 1600.

En dépit de ses avantages la réforme du pape Grégoire XIII eut du mal à s’imposer ; elle déclencha une tempête de protestations parce qu’elle venait de l’Eglise.

Pour l’Eglise le lendemain du jeudi 4 octobre 1582 fut le vendredi 15 octobre 1582 ; ainsi que pour l’Espagne et le Portugal. Sainte Thérèse d’Avila décéda donc dans la nuit du 4 au 15 octobre 1582 ! En France le lendemain du dimanche 9 décembre 1582 fut le lundi 20 décembre 1582. Tous les pays européens n’adoptèrent pas cette réforme en même temps. L’Angleterre ne l’adopta qu’en 1752 par exemple ; d’où les problèmes délicats de chronologie pour les historiens. Le calendrier julien est toujours celui des Eglises d’Orient.

Malgré les petites différences entre l’année julienne et l’année grégorienne, les cycles pascals sont très différents. Dans le calendrier julien la même date revient tous les 532 ans ; dans le calendrier grégorien le cycle est de 57 000 siècles ! car la métemptose suit un rythme de 400 ans, la proemptose un rythme de 25 siècles, l’épacte un rythme de 30 et le nombre d’or un rythme de 19.

Si l’on fait un calcul par ordinateur (cela va de soi !), la distribution des fréquences de la date de Pâques est superposable, dans les deux calendriers, mais pas avec les mêmes cycles. Il y a une série de dates à peu près égales entre le 28 mars et le 19 avril. Puis il y a une décroissance régulière de chaque côté, du 28 au 22 mars et du 19 au 25 avril. La date la plus fréquente est le 19 avril (3,8%). La date la plus rare est le 22 mars (0,5%).

Il y a encore bien d’autres choses à dire sur la date de Pâques car c’est essayer de faire correspondre un événement avec l’astronomie. Le grand astronome Képler a bien dit que « Pâques est une fête et non une planète ». C’est pourquoi le calendrier grégorien est un excellent compromis entre la précision astronomique et la simplicité d’utilisation.

En tout cas, il y a 1693 ans les pères de l’Eglise étaient non seulement de fins théologiens mais aussi de grands mathématiciens. C’est à l’honneur de l’Eglise.

Alain Fajardy